بازی گلشیفته فراهانی در فیلم تازه ریدلی اسکات همچنان سرو صداهایی رو با خودش به دنبال داره. در حالی که گلشیفته در ایران مصاحبه ای رسمی با هیچ رسانه ای نداشته تا در مورد این فیلم به طور دقیق و مفصل صحبت کرده باشه. و همه گفتگوهای او کوتاه بوده. او این روزها در اروپا به سر می بره تا خودش رو به فرش قرمز فیلم در آمریکا برسونه. از طرف دیگه تصاویر تازه فیلم مجموعه دروغها هم منتشر شده. در ادامه این مطلب نوشته ای از محمد حقیقت کارگردان ایرانی مقیم خارج کشور به نقل از سایت کاگزاران قرار داده شده. به همراه تصاویر تازه از فیلم  “مجموعه دروغ ها”  یا با یک ترجمه بهتر ” یک مشت دروغ” !!ا

محمد حقیقت:۱ـ پیش‌گفتار: در سال ۲۰۰۲ که می‌خواستم فیلم «دو فرشته» را در ایران فیلمبرداری کنم برای نقش آذر، دختری ۱۸ ساله و سرکش، به‌دنبال هنرپیشه‌ای می‌گشتم که به یاد گلشیفته فراهانی در فیلم «درخت گلابی» اثر خوب داریوش مهرجویی افتادم. دخترکی شیطان و پرانرژی را به یاد آوردم و فکر کردم که حالا باید حدود ۱۸ سال سن داشته باشد. یکی از دوستان «دکتر شفیعی» که سناریوی دو فرشته را خوانده بود گفت من خانواده فراهانی را می‌شناسم و ترتیب ملاقاتی را با آنها برایت خواهم دارد. گلشیفته تا آن موقع فکر می‌کنم در یکی، دو فیلمی دیگر نیز بازی کرده بود، اما من ندیده بودم. در ماه سپتامبر ۲۰۰۲ سرانجام همکاری من با گلشیفته‌ فراهانی شروع شد و او نقش اول ختر فیلم «آذر» را بازی کرد و همزمان در فیلم «بوتیک» بازی داشت. در اوایل سال ۲۰۰۳ فیلم «دو فرشته» توسط کمپانی وایلد بونچ، که یکی از سرمایه‌گذاران فیلم بود، آن را به جشنواره کن پیشنهاد کرد و این فیلم در بخش «هفته بین‌المللی منتقدین» که به فیلم‌های اول یا دوم کارگردانان اختصاص دارد، انتخاب گردید. در ماه مه گلشیفته فراهانی به همراه کارگردان (که من باشم) گفت‌وگوهای گوناگونی در مطبوعات و به‌ویژه تلویزیونی‌های اروپایی با گلشیفته فراهانی انجام شد. از آن هنگام به بعد تماسی با گلشیفته گاه‌گداری داشتم تا اینکه اخیرا شنیدم به پاریس آمده است خود را برای رفتن به نیویورک آماده می‌کند تا در افتتاحیه فیلم «مجموعه دروغ‌ها» شرکت کند..............

ادامه مطلب

آیا ۱۳ نحس است؟

● ۱۳ عدد اول است.      

● ۱-۱۳^۲  عدد اول مرسن است.

● ۱۳جسم ارشمیدسی موجود است. (اجسام ارشمیدسی اجسامی هستند كه وجوه آنها چند ضلعی بوده، نه لزوما از یك نوع ، و كنجهای آنها مساوی هستند.)

● عدد ۱۳كوچكترین Emirp است. (Emirp  عدد اولی است كه اگر ارقام آن را معكوس كنیم مجددا عددی اول خواهد بود مثلا اعداد ۱۳، ۱۷،۳۱، ۳۷،…..)

● ۱۶۹=۲^۱۳  بامعكوس كردن ارقام آن داریم: ۹۶۱=”۲^۳۱ یعنی رقم های آن مجددا معكوس می شود.”

●۲^۱۳،  ۱+!۱۲ را عاد می‌كند.

● ۱۳عدد Happy است.(برای دانستن این كه عددی Happy است، مجموع مربعات رقمهای عدد را پیدا كرده و دوباره مجموع مربعات عدد بدست آمده را حساب می‌كنیم با ادامه این روند اگر به عدد ۱ دست پیدا كردیم آنگاه به آن عدد Happy گفته می‌شود. مثلا برای عدد سیزده  ۱۰=”۲^۳+۲^۱ و ۱=۲^۰+۲^۱ بنابراین۱۳″ عدد Happyاست.)

● ۱۳نیمی از  ۳^۳+ ۳^۱- است

●۲^۱۳عدد !(۱ -۱۳)+ ۱را عاد می‌كند بنابراین یك عدد اول ویلسون(Wilson Prime) است. ( هر عدد اول p كه،p و p^۲،  مقدار p-۱)!+۱) را عاد كنند، عدد اول ویلسون نامیده می‌شود. مثلا  عدد ۵ عدد ویلسون است.  تنها اعداد شناخته شده ۵  و ۱۳و ۵۶۳ است .)

●چرتكه چینی دارای  سیزده ستون مهره‌ برای محاسبات است.

●  ۱۳بزرگترین عدد اولی است كه می تواند به دو عدد متوالی به صورت n^۲+۳ افراز می شود.(آیا می توانید اثبات کنید؟)

● ۱+۱۳- ۱۳^۱۳ عدد اول است.

● نخستین حفره‌ی اول با طول سیزده بین دو عدد    ۱۱۳و ۱۲۷اتفاق می‌افتد. (منظور از حفره‌ی اول تعداد  اعداد مركب بین دوعدد اول متوالی است.) 

● ۱۳ كوچكترین عدد اول جایگشت‌پذیر (Permutable Number) است. ( این اعداد، اعداد اولی  حداقل با دو رقم مجزا هستند  كه با تجدید آرایش در رقم هایشان همچنان عددی اول باقی می مانند مثلا برای عدد ۳۳۷  ، ۷۳۳ و ۳۷۳ و ۳۳۷ عدد اول است از دیگر اعداد از این قسم می‌توان به  ۱۳,۱۷,۳۷,۷۹,۱۱۳,۱۱۹و جایگشتهای آن اشاره كرد.)

● هشت عدد اول دیگر می‌تواند به وسیله تغییر یك رقم از ۱۳ تولید شود.{۱۱, ۱۷, ۱۹, ۲۳, ۴۳, ۵۳, ۷۳, ۸۳}

● عدد ۱۳ كوچكترین عددی است كه ارقام آن در پایه چهار معكوس ۱۳ است. ( ۱۳ در پایه چهار ۳۱ است.)

● رویه‌ی بیضوی روی اعداد گویا كه دارای نقطه‌ی گویا از مرتبه‌ی ۱۳ باشد موجود نیست.

● ۲^۱۳= ۱۹+…+۸+۷

● عدد ۲^۱۳توسط مربعات مجزای اعداد ۱ و ۲ و ۳ و ۴ و ۵ و ۶ بیان می‌شود.

منبع:

academist.ir

یا علی!

و.. قضیه فرما..!!!

فرما در حاشیه  نسخه رونوشتش از  Diophantus' Arithmetica می نویسد }

برای تقسیم کردن یک عدد مکعب کامل به دو مکعب دیگر ، توان 4  و در حالت کلی هر توانی از هر عددی به دو توان هم جنس همانطور که ذکر شد حالت دومی نیز ممکن است ، و من مطمئنا یک اثبات تحسین بر انگیز برای آن پیدا کرده ام ، اما حاشیه کتاب برای نوشتن آن بسیار باریک است!!!!!!
پیر فرما

در ابتدای این سلسله مقالات به بیان مفهوم کلید عمومی و شیوه رمز نگاری نا متقارن پرداختیم سپس در ادامه روش های تایید هویت  که مکمل این شیوه است مورد بررسی قرار گرفت و پس از آن از ایده اولیه الگوریتم آر اس ای  -که نوعی روش به رمز در آوردن اطلاعات مبتنی بر شیوه کلید عمومی است- صحبت شد و حالا در ادامه  مثال کاملی را برای بیان الگوریتم RSA مطرح می کنیم .در اینجا سعی شده تا از اعداد اول بسیار کوچکی استفاده شود تا ادامه روند محاسبات ساده باشد اما باید توجه داشت که در کاربرد واقعی روش RSA  این اعداد باید بسیار بزرگ ،حداقل دارای 100 رقم ، انتخاب می شود:

در طول این مثال فرض کنید شخص A می خواهد یک کلید عمومی برای خود بسازد و  شخص B می خواهد با استفاده از این کلید عمومی برای A پیغامی بفرستد. فرض می کنیم که A و B بر سر روشی برای برمز در آوردن متن بصورت اعداد توافق کرده اند .بنابراین این گام ها باید پیموده شود :

1. ابتدا شخص A دو عدد اول انتخاب می کند . ما از اعداد p=23 و q=41 استفاده می کنیم .

2. شخص A دو عدد p و q را در هم ضرب میکند تا به N=p.q=(23)(41)=934 برسد . 934 کلید عمومی او است ، که آنرا به نفر B می دهد ( و همچنین به باقی افرادی در جهان که متمایل باشد )

3. شخص A همچنین عدد دیگری چون e را که نسبت به (M=(p-1)(q-1 اول باشد. یعنی بزرگترین مقسوم علیه مشترک آنها یک باشد یا p-1)(q-1),e)=1)). در این مورد خاص M=(p-1)(q-1)=(22)(40)=880 بنابراین e=7 مناسب است. e نیز قسمتی از کلید عمومی است و باید علاوه بر p.q ، e نیز به شخص B گفته شود......

ادامه مطلب ....

نظریه اعداد

نظریه مقدماتی اعداد

در نظریه مقدماتی اعداد، اعداد صحیح را بی استفاده از روش‌های به‌کار رفته در سایر شاخه‌های ریاضی بررسی می‌‌کنند. مسائل تقسیم‌پذیری، الگوریتم اقلیدس برای محاسبه بزرگترین مقسوم‌الیه مشترک، تجزیه اعداد به اعداد اول، جستجوی عدد تام perfect number و همنهشتی‌ها در این رده هستند. برخی از یافته‌های مهم این رشته قضیه کوچک فرما، و قضیه اویلر، قضیه باقیمانده چینی و قانون تقابل درجه دوم هستند. خواص توابع ضربی مانند تابع موبیوس و تابع φ اویلر و دنباله اعداد صحیح و فاکتوریل‌ها و اعداد فیبوناچی در همین حوزه قرار دارند.

حل بسیاری از مسائل در نظریه مقدماتی اعداد بر خلاف ظاهر ساده‌ آن‌ها نیازمند کوشش بسیار و به‌کار گرفتن روش‌های نوین است. چند نمونه:

• حدس گلدباخ در مورد نمایش اعداد زوج به صورت جمع دو عدد اول،

• حدس کاتالان در مورد توانهای متوالی از اعداد صحیح،

• حدس اعداد اول تؤامان در مورد بینهایت بودن زوج‌های اعداد اول، و

• حدس کولاتز در مورد تکرار ساده.

همچنین ثابت شده که نظریه معادلات دیوفانتی تصمیم‌ناپذیر است (به مسئله دهم هیلبرت مراجعه کنید.)

نظریه تحلیلی اعداد

در نظریه تحلیلی اعداد از حسابان و آنالیز مختلط برای بررسی سؤالاتی در مورد اعداد صحیح استفاه می‌شود. مثال‌هایی در این مورد قضیه اعداد اول و فرض ریمان هستند. مسئله وارینگ (یعنی نمایش هر عدد صحیح به صورت جمع چند مربع یا مکعب)، حدس اعداد اول تؤامان (یافتن بینهایت عدد اول با اختلاف ۲)، و حدس گلدباخ (نمایش هر عدد زوج به‌صورت مجموع دو عدد اول) نیز با روشهای تحلیلی مورد حمله قرار گرفته‌اند. اثبات متعالی بودن ثابت‌های ریاضی، مانند π و e نیز در بخش نظریه تحلیلی اعداد قرار دارند. اگرچه حکم‌هایی در مورد اعداد متعالی خارج از محدوده مطالعات اعداد صحیح به نظر می‌آید، در واقع مقادیر ممکن برای چند جمله‌ای‌ها با ضریب‌های صحیح مانند e را بررسی می‌کنند. همچنین این‌گونه مسائل با مبحث تقریب دیوفانتین نیز ارتباط نزدیک دارند که موضوع آن این است که چگونه می‌توان یک عدد حقیقی داده شده را با یک عدد گویا تقریب زد؟

نظریه جبری اعداد

در نظریه جبری اعداد، مفهوم عدد به اعداد جبری، که همان ریشه‌های چند جمله‌ای‌هائی با ضریب گویا هستند، گسترش می‌یابد. در این حوزه اعدادی مشابه اعداد صحیح با نام اعداد صحیح جبری وجود دارد. در این عرصه لازم نیست ویژگی‌های آشنای اعداد صحیح (مانند تجزیه یگانه) برقرار باشد. مزیت روش‌های استفاده شده در این رشته (مثل نظریه گالوا، میدان همانستگی field cohomology، نظریه رده میدان class field theory، نمایش‌های گروه‌ها و توابع-L) این است که برای این رده از اعداد، نظم را تا حدودی تامین م‌کند.

حمله به بسیاری از سؤالات نظریه اعداد به صورت "پیمانه p، برای کلیه اعداد اول p" مناسب‌تر است (به میدان‌های متناهی مراحعه کنید.) به چنین کاری "محلی سازی" می‌‌گویند که به ساختن عدد p-ای می‌انجامد. نام این رشته "تحلیل موضعی" است که از نظریه اعداد جبری ناشی می‌شود.

نظریه هندسی اعداد

نظریه هندسی اعداد (که قبلا به آن هندسه اعداد می‌گفتند) جنبه‌هایی از هندسه را به نظریه اعداد پیوند می‌دهد؛ و از قضیه مینکوسکی در ارتباط با نقاط " href="http://fa.wikipedia.org/wiki/توری_(گروه)">توری در مجموعه‌های محدب و تحقیق در مورد چپاندن کره‌ها (sphere packings) در فضای Rⁿ شروع می‌شود.

نظریه ترکیبیاتی اعداد

نظریه ترکیبیاتی اعداد به مسائلی در نظریه اعداد می‌پردازد که با روش‌های ترکیبیاتی بررسی می‌شوند. پل اردوش بنیان‌گذار اصلی این شاخه از نظریه اعداد بود.

نظریه محاسباتی اعداد

نظریه محاسباتی اعداد به الگوریتم‌های مربوط به نظریه اعداد می‌‌پردازد. الگوریتم‌های سریع برای امتحان اعداد اول و تجزیه اعداد صحیح در رمزنگاری کاربردهای مهمی دارندش‌های به‌کار رفته در سایر شاخه‌های ریاضی بررسی می‌‌کنند. مسائل تقسیم‌پذیری، الگوریتم اقلیدس برای محاسبه بزرگترین مقسوم‌الیه مشترک، تجزیه اعداد به اعداد اول، جستجوی عدد تام perfect number و همنهشتی‌ها در این رده هستند. برخی از یافته‌های مهم این رشته قضیه کوچک فرما، و قضیه اویلر، قضیه باقیمانده چینی و قانون تقابل درجه دوم هستند. خواص توابع ضربی مانند تابع موبیوس و تابع φ اویلر و دنباله اعداد صحیح و فاکتوریل‌ها و اعداد فیبوناچی در همین حوزه قرار دارند.

حل بسیاری از مسائل در نظریه مقدماتی اعداد بر خلاف ظاهر ساده‌ آن‌ها نیازمند کوشش بسیار و به‌کار گرفتن روش‌های نوین است. چند نمونه:

• حدس گلدباخ در مورد نمایش اعداد زوج به صورت جمع دو عدد اول،

• حدس کاتالان در مورد توانهای متوالی از اعداد صحیح،

• حدس اعداد اول تؤامان در مورد بینهایت بودن زوج‌های اعداد اول، و

• حدس کولاتز در مورد تکرار ساده.

همچنین ثابت شده که نظریه معادلات دیوفانتی تصمیم‌ناپذیر است (به مسئله دهم هیلبرت مراجعه کنید.)

نظریه تحلیلی اعداد

در نظریه تحلیلی اعداد از حسابان و آنالیز مختلط برای بررسی سؤالاتی در مورد اعداد صحیح استفاه می‌شود. مثال‌هایی در این مورد قضیه اعداد اول و فرض ریمان هستند. مسئله وارینگ (یعنی نمایش هر عدد صحیح به صورت جمع چند مربع یا مکعب)، حدس اعداد اول تؤامان (یافتن بینهایت عدد اول با اختلاف ۲)، و حدس گلدباخ (نمایش هر عدد زوج به‌صورت مجموع دو عدد اول) نیز با روشهای تحلیلی مورد حمله قرار گرفته‌اند. اثبات متعالی بودن ثابت‌های ریاضی، مانند π و e نیز در بخش نظریه تحلیلی اعداد قرار دارند. اگرچه حکم‌هایی در مورد اعداد متعالی خارج از محدوده مطالعات اعداد صحیح به نظر می‌آید، در واقع مقادیر ممکن برای چند جمله‌ای‌ها با ضریب‌های صحیح مانند e را بررسی می‌کنند. همچنین این‌گونه مسائل با مبحث تقریب دیوفانتین نیز ارتباط نزدیک دارند که موضوع آن این است که چگونه می‌توان یک عدد حقیقی داده شده را با یک عدد گویا تقریب زد؟

ادامه مطلب....

منبع:

matematica

النماس دعا

یا علی

 

 

 

 فراكتال ها مفاهیم ریاضى هندسى هستند كه در چند سال اخیر و به خصوص پس از كارهاى بندیت مندلبورت، ریاضیدان لهستانى بر روى آنها بسیار مورد توجه دانشمندان سایر علوم قرار گرفته است. مفاهیمى كه خواص آنها به اندازه شان بستگى ندارد، در فیزیك، شیمى، زیست شناسى، زمین شناسى و پزشكى بسیار دیده شده اند و از خواص آنها مى توان براى درك بهتر پدیده هاى مورد نظر استفاده كرد. تاكنون تعریف دقیقى از ماهیت فراكتال ها نشده است اما از یك دیدگاه كلى مى توان گفت كه فراكتال موجودى هندسى است كه قوانین كلى حاكم بر آن وابسته به مقیاسى كه در آن كار مى كنیم نیست. یعنى جزئیات آن شبیه كل هستند. فراكتال ها جزئیات نامحدودى دارند كه داراى ساختارى خودمتشابه در مقادیر مختلف بزرگ نمایى، هستند. در اكثر موارد یك قانون و قاعده خاص به میزان نامحدودى تكرار مى شود تا یك طرح فراكتالى به وجود آید. واژه فراكتال در سال ۱۹۷۵ توسط «بندیت مندلبورت» پدر فراكتال، ابداع شد. ریشه این لغت، عبارت لاتین Fractus به معناى «شكسته» است. پیش از این كه مندلبورت این واژه را ابداع كند، براى چنین اشكالى، از واژه «منحنى هاى هیولایى» استفاده مى شد. فراكتال ها را عموماً موجوداتى ریاضى مى پندارند و این به علت مشهور بودن ساختار «فراكتال هندسى» است اما نشان داده شده است كه بسیارى از وضعیت هایى كه هندسه كلاسیك (اقلیدسى) از توضیح آنها عاجز است، توسط فراكتال ها، به راحتى بیان مى شود. به همین دلیل فراكتال ها در علوم كاربردهاى بسیارى پیدا كرده اند، از فیزیك و شیمى و هوا شناسى گرفته تا بیولوژى ملكولى و پزشكى، از قوانین كلى حاكم بر فراكتال ها استفاده مى شود.
• فراكتال هاى هندسى
ساده ترین نوع فراكتال، فراكتال كانتور است. پاره خطى به طول یك واحد در نظر بگیرید و طول آن را به سه قسمت تقسیم كرده و قسمت وسطى را حذف كنید. حالا دو تا خط داریم كه طول آنها یك سوم طول اولیه است. همین عمل را با هر كدام از این پاره خط ها هم انجام مى دهیم. یعنى طول هر كدام را ثلث مى كنیم و قسمت وسطى را حذف مى كنیم. مى توان با كامپیوتر برنامه اى نوشت كه این عملیات را چندین بار پیاپى انجام دهد. اگر این عملیات را بى شمار بار انجام دهیم (كارى كه از عهده كامپیوتر خارج است) شكلى به دست مى آید كه مجموعه كانتور نام دارد. اگر به كل شكل نگاه كنیم، ساختارى مى بینیم كه تا بى نهایت ادامه دارد. اگر به سمت راست یا چپ خط دوم شكل نگاه كنیم، ساختارى مى بینیم كه باز هم تا بى نهایت ادامه یافته و در عین حال، كاملاً شبیه شكل كلى است. چنین ساختارهایى كه هر جزء آن با كل مجموعه یكى است و فقط در مقیاس (Scale) تفاوت دارند را ساختارهاى خودمتشابه Self-similar مى گویند.
یكى از مشهورترین انواع فراكتال ها توسط «هلگ فون كخ» در سال ۱۹۰۴ طراحى شد، در این نوع فراكتال، ابتدا یك پاره خط به طول یك واحد درنظر مى گیریم و آن را به سه قسمت تقسیم مى كنیم. سپس به جاى ضلع وسط دو ضلع مثلث متساوى الاضلاع را قرار مى دهیم. و این كار را همین طور ادامه مى دهیم. فراكتال كخ نیز یك نوع فراكتال خودمتشابه است. اگر این عمل را روى اضلاع یك مثلث متساوى الاضلاع انجام دهیم، شكل بسیار زیبایى به دست مى آید كه «دانه برف كخ» نام دارد.
فراكتال سرپینسكى یك فراكتال هندسى است. اگر مثلث وسطى یك مثلث متساوى الاضلاع را حذف كنیم و براى همه مثلث هاى باقى مانده هم این عمل را تا بى نهایت ادامه دهیم، مجموعه زیبایى از مثلث هاى پر و خالى به وجود مى آید كه فراكتال سرپینسكى به دست خواهد آمد. در همه انواع فراكتال هاى خودمتشابه براى تبدیل هر جزء به كل یا اجزاى كوچكتر، باید همه ابعاد به یك مقیاس بزرگ شوند. اما نوع دیگر فراكتال را خود الحاقى (Self-Affine) مى گویند. در این نوع از فراكتال ها براى تبدیل شدن به مقیاس بزرگ تر باید شكل در هر راستا به ضرایب مختلفى بزرگ نمایى شود. DNA زنجیره طویلى از اسیدهاى نوكلئیك است كه اطلاعات ژنتیكى را در خود ذخیره كرده است. اسیدهاى نوكلئیك دو دسته اند، پریدین و پریمیدین. اگر در طول یك زنجیره DNA براى هر پریدین یك واحد به بالا برویم و براى هر پریمیدین یك واحد به پائین، نمودارى به دست مى آید كه داده هاى زیادى به ما مى دهد. به این نمودار ولگشت DNA (DNA Walk) مى گویند. ولگشت هاى DNA نمونه هاى خوبى براى فراكتال هاى خودالحاقى هستند. اكثر ساختارهاى فراكتالى در طبیعت مثل ریشه هاى گیاهان یا شاخه هاى درخت ها، ساختارهاى خوشه ها و كهكشان هاى كیهان، رشد یك سطح، سوختگى هاى روى كاغذ، شكستگى هاى DVDها و ساختارهاى زمین شناسى به خصوص اشكال زیبایى كه در غارها مشاهده مى شود، خواص فراكتالى خود الحاقى دارند. یكى از زیباترین نمونه هاى فراكتالى گل كلم است.
• ابعاد فراكتال ها
یكى از نكات بسیار جالب در بررسى فراكتال ها، بعد آنها است. مثلاً مى دانیم كه مربع یك شىء ریاضى دوبعدى است. این بعد دوم را مى توان اینگونه به دست آورد كه از تقسیم هر ضلع مربع به N قسمت مساوى و وصل كردن نقاط روبه رو به هم، N2 مربع به دست مى آید كه اندازه هر كدام۱‎/N2 برابر مساحت مربع اولى است. این شكل، یك ساختار فراكتالى دارد كه هر ضلع مربع هاى كوچك با ضریب N به اندازه ضلع مربع اصلى تبدیل مى شود. بنابراین بعد هر جسم را مى توان اینگونه تعریف كرد: نسبت لگاریتم تعداد اشكال خودمتشابه به لگاریتم عامل بزرگ نمایى.
logN2/logN=2=D
حال اگر همین كار را با مجموعه كانتور انجام دهیم چون با دو مجموعه كانتور مى توان یك مجموعه كانتور به طول ۳ برابر مجموعه هاى اولى ساخت داریم:
D=log2/log3=0/631
یعنى یك مجموعه كانتور، موجودى ۶۳۱/۰ بعدى است. حال اگر به شكل مجموعه كانتور نگاه كنیم ما مى بینیم كه این مجموعه نه یك خط كامل است كه بعد یك داشته باشد و نه یك نقطه كه بعد صفر داشته باشد بلكه موجودى بین آن دو است.
براى فراكتال كخ كه بیشتر از خط (بعد۱) و كمتر از صفحه (بعد ۲) است، داریم:
D=log4/log3=1/262
یا براى فراكتال سرپینسكى كه فضاى بیشترى را نسبت به فراكتال كخ مى پوشاند، اما به یك صفحه كامل نمى رسد، داریم:
D=log3/log2=1/58
در فراكتال ها این بعد فراكتالى است كه مهم است و نه مقیاس. زیرا در هر اندازه اى، این بعد فراكتالى حفظ مى شود و بیانگر خاصیت اصلى فراكتال است. همین امر كاربرد فراكتال ها را در علم امروزى زیاد كرده است.
در كیهان شناسى، ساختار یك كهكشان با یك خوشه كهكشانى (مجموعه اى از هزاران كهكشان) و یك خوشه نیز با یك ابرخوشه (مجموعه اى از هزاران خوشه كهكشانى) قابل قیاس است. رشد نمونه هاى میكروبیولوژیكى در محیط هاى كشت و یا نحوه كاركردهاى پلیمرهاى صنعتى (مثل لاستیك ها) و پلیمرهاى حیاتى (مثل DNA و پروتئین ها) از مواردى هستند كه دانش فراكتال ها را مى توان در آنها به كار برد.

این هم یک نمونه فراکتال :

http://mathrix.blogfa.com/post-16.aspx