نظریه اعداد

نظریه مقدماتی اعداد

در نظریه مقدماتی اعداد، اعداد صحیح را بی استفاده از روش‌های به‌کار رفته در سایر شاخه‌های ریاضی بررسی می‌‌کنند. مسائل تقسیم‌پذیری، الگوریتم اقلیدس برای محاسبه بزرگترین مقسوم‌الیه مشترک، تجزیه اعداد به اعداد اول، جستجوی عدد تام perfect number و همنهشتی‌ها در این رده هستند. برخی از یافته‌های مهم این رشته قضیه کوچک فرما، و قضیه اویلر، قضیه باقیمانده چینی و قانون تقابل درجه دوم هستند. خواص توابع ضربی مانند تابع موبیوس و تابع φ اویلر و دنباله اعداد صحیح و فاکتوریل‌ها و اعداد فیبوناچی در همین حوزه قرار دارند.

حل بسیاری از مسائل در نظریه مقدماتی اعداد بر خلاف ظاهر ساده‌ آن‌ها نیازمند کوشش بسیار و به‌کار گرفتن روش‌های نوین است. چند نمونه:

• حدس گلدباخ در مورد نمایش اعداد زوج به صورت جمع دو عدد اول،

• حدس کاتالان در مورد توانهای متوالی از اعداد صحیح،

• حدس اعداد اول تؤامان در مورد بینهایت بودن زوج‌های اعداد اول، و

• حدس کولاتز در مورد تکرار ساده.

همچنین ثابت شده که نظریه معادلات دیوفانتی تصمیم‌ناپذیر است (به مسئله دهم هیلبرت مراجعه کنید.)

نظریه تحلیلی اعداد

در نظریه تحلیلی اعداد از حسابان و آنالیز مختلط برای بررسی سؤالاتی در مورد اعداد صحیح استفاه می‌شود. مثال‌هایی در این مورد قضیه اعداد اول و فرض ریمان هستند. مسئله وارینگ (یعنی نمایش هر عدد صحیح به صورت جمع چند مربع یا مکعب)، حدس اعداد اول تؤامان (یافتن بینهایت عدد اول با اختلاف ۲)، و حدس گلدباخ (نمایش هر عدد زوج به‌صورت مجموع دو عدد اول) نیز با روشهای تحلیلی مورد حمله قرار گرفته‌اند. اثبات متعالی بودن ثابت‌های ریاضی، مانند π و e نیز در بخش نظریه تحلیلی اعداد قرار دارند. اگرچه حکم‌هایی در مورد اعداد متعالی خارج از محدوده مطالعات اعداد صحیح به نظر می‌آید، در واقع مقادیر ممکن برای چند جمله‌ای‌ها با ضریب‌های صحیح مانند e را بررسی می‌کنند. همچنین این‌گونه مسائل با مبحث تقریب دیوفانتین نیز ارتباط نزدیک دارند که موضوع آن این است که چگونه می‌توان یک عدد حقیقی داده شده را با یک عدد گویا تقریب زد؟

نظریه جبری اعداد

در نظریه جبری اعداد، مفهوم عدد به اعداد جبری، که همان ریشه‌های چند جمله‌ای‌هائی با ضریب گویا هستند، گسترش می‌یابد. در این حوزه اعدادی مشابه اعداد صحیح با نام اعداد صحیح جبری وجود دارد. در این عرصه لازم نیست ویژگی‌های آشنای اعداد صحیح (مانند تجزیه یگانه) برقرار باشد. مزیت روش‌های استفاده شده در این رشته (مثل نظریه گالوا، میدان همانستگی field cohomology، نظریه رده میدان class field theory، نمایش‌های گروه‌ها و توابع-L) این است که برای این رده از اعداد، نظم را تا حدودی تامین م‌کند.

حمله به بسیاری از سؤالات نظریه اعداد به صورت "پیمانه p، برای کلیه اعداد اول p" مناسب‌تر است (به میدان‌های متناهی مراحعه کنید.) به چنین کاری "محلی سازی" می‌‌گویند که به ساختن عدد p-ای می‌انجامد. نام این رشته "تحلیل موضعی" است که از نظریه اعداد جبری ناشی می‌شود.

نظریه هندسی اعداد

نظریه هندسی اعداد (که قبلا به آن هندسه اعداد می‌گفتند) جنبه‌هایی از هندسه را به نظریه اعداد پیوند می‌دهد؛ و از قضیه مینکوسکی در ارتباط با نقاط " href="http://fa.wikipedia.org/wiki/توری_(گروه)">توری در مجموعه‌های محدب و تحقیق در مورد چپاندن کره‌ها (sphere packings) در فضای Rⁿ شروع می‌شود.

نظریه ترکیبیاتی اعداد

نظریه ترکیبیاتی اعداد به مسائلی در نظریه اعداد می‌پردازد که با روش‌های ترکیبیاتی بررسی می‌شوند. پل اردوش بنیان‌گذار اصلی این شاخه از نظریه اعداد بود.

نظریه محاسباتی اعداد

نظریه محاسباتی اعداد به الگوریتم‌های مربوط به نظریه اعداد می‌‌پردازد. الگوریتم‌های سریع برای امتحان اعداد اول و تجزیه اعداد صحیح در رمزنگاری کاربردهای مهمی دارندش‌های به‌کار رفته در سایر شاخه‌های ریاضی بررسی می‌‌کنند. مسائل تقسیم‌پذیری، الگوریتم اقلیدس برای محاسبه بزرگترین مقسوم‌الیه مشترک، تجزیه اعداد به اعداد اول، جستجوی عدد تام perfect number و همنهشتی‌ها در این رده هستند. برخی از یافته‌های مهم این رشته قضیه کوچک فرما، و قضیه اویلر، قضیه باقیمانده چینی و قانون تقابل درجه دوم هستند. خواص توابع ضربی مانند تابع موبیوس و تابع φ اویلر و دنباله اعداد صحیح و فاکتوریل‌ها و اعداد فیبوناچی در همین حوزه قرار دارند.

حل بسیاری از مسائل در نظریه مقدماتی اعداد بر خلاف ظاهر ساده‌ آن‌ها نیازمند کوشش بسیار و به‌کار گرفتن روش‌های نوین است. چند نمونه:

• حدس گلدباخ در مورد نمایش اعداد زوج به صورت جمع دو عدد اول،

• حدس کاتالان در مورد توانهای متوالی از اعداد صحیح،

• حدس اعداد اول تؤامان در مورد بینهایت بودن زوج‌های اعداد اول، و

• حدس کولاتز در مورد تکرار ساده.

همچنین ثابت شده که نظریه معادلات دیوفانتی تصمیم‌ناپذیر است (به مسئله دهم هیلبرت مراجعه کنید.)

نظریه تحلیلی اعداد

در نظریه تحلیلی اعداد از حسابان و آنالیز مختلط برای بررسی سؤالاتی در مورد اعداد صحیح استفاه می‌شود. مثال‌هایی در این مورد قضیه اعداد اول و فرض ریمان هستند. مسئله وارینگ (یعنی نمایش هر عدد صحیح به صورت جمع چند مربع یا مکعب)، حدس اعداد اول تؤامان (یافتن بینهایت عدد اول با اختلاف ۲)، و حدس گلدباخ (نمایش هر عدد زوج به‌صورت مجموع دو عدد اول) نیز با روشهای تحلیلی مورد حمله قرار گرفته‌اند. اثبات متعالی بودن ثابت‌های ریاضی، مانند π و e نیز در بخش نظریه تحلیلی اعداد قرار دارند. اگرچه حکم‌هایی در مورد اعداد متعالی خارج از محدوده مطالعات اعداد صحیح به نظر می‌آید، در واقع مقادیر ممکن برای چند جمله‌ای‌ها با ضریب‌های صحیح مانند e را بررسی می‌کنند. همچنین این‌گونه مسائل با مبحث تقریب دیوفانتین نیز ارتباط نزدیک دارند که موضوع آن این است که چگونه می‌توان یک عدد حقیقی داده شده را با یک عدد گویا تقریب زد؟

ادامه مطلب....

منبع:

matematica

النماس دعا

یا علی